Analiza “reale” matematike dhe Analiza matematike diskrete e kufizuar

…pretendimi im është se ne, realisht, e kemi një analizë diskrete të kufizuar matematike. Mund ta definojmë boshtin numerik me njëfarë epsiloni minimal, me një farë vlere maksimale M, dhe e kemi një bosht me vlerat

{-M, -M+eps, -M+2eps, …, -2eps, -eps, 0, eps, 2eps, …, M-2eps, M-eps, M}

Nuk ka intervale të hapura. Ka segmente. Madje, ky është version i thjeshtuar i realitetit sa për ta ilustruar konceptin. Ne nuk masim me një njësi epsilon. Në afërsi mund të masim me mikro-mikrometra, por në largësi masim me kilometra, deri në vit-drite. Pra, boshti numerik nuk është ekuidistant, i shpërndarë njësoj, por, ka shpërndarje të lirë, varësisht nga aftësitë tona vëzhguese të çastit.

 

Nuk mendoj se infiniti është koncept real. Është koncept i krijuar nga mendja e njeriut. Le të fillojmë nga bashkësia e numrave natyralë. Po, pas çdo numri natyral është edhe një tjetër, dhe me ‘induksion’ del se është e pafundme. Por, realisht, është një numër natyral maksimal të cilin e ka përdorë njerëzimi në tërë historinë e vet. Mund të jetë aq i madh sa me të dhimtë koka, por, është i fundëm.

Mandej numrat e plotë. Storja e njëjtë, veç kah minusi.

Numrat racionalë: bashkësi kudo e dendur. Pse? Sepse, midis çdo dy numrave racionalë ka numër racional. Thjesht ia gjen mesataren atyre dyve dhe voilà! Por, nëse i marrim të gjithë numrat racionalë që janë përdorur nga njerëzimi në tërë historinë e vet, nuk më duket se është kudo e dendur. Përkundrazi: kudo e padendur.

Mandej vijnë numrat realë. Këta jo vetëm që janë kudo të dendur, por edhe është bashkësi e vazhdueshme. E në të vërtetë, as edhe një segment më të voglin ‘të vazhdueshëm’ nuk e ka përdorur njerëzimi kurrë sepse aty ka pafundshumë numra, e njerëzimi mundet me numëru e punu vetëm me një numër të fundëm të tyre, sado i madh qoftë ai.

Teleskopat tonë, sado të avancuar që janë, mund ta shohin universin vetëm deri diku. Pra, thjesht, e marrim pikën më të largët që mund ta shohim, dhe mund ta ndërtojmë një sferë me atë rreze e me qendër në Tokë (qendra e Tokës, nëse doni saktësisht). Universi ynë që mund ta perceptojmë është i kufizuar. Në drejtimin e kundërt, mikroskopët e pajisjet më të sofistikuara mund të shohin grimcim pas grimcimi, por këto nuk janë epsilona sado të vegjël. Janë epsilona me njëfarë minimumi.

Prandaj pretendimi im është se ne, realisht, e kemi një analizë diskrete të kufizuar matematike. Mund ta definojmë boshtin numerik me njëfarë epsiloni minimal, me një farë vlere maksimale M, dhe e kemi një bosht me vlerat

{-M, -M+eps, -M+2eps, …, -2eps, -eps, 0, eps, 2eps, …, M-2eps, M-eps, M}

Nuk ka intervale të hapura. Ka segmente. Madje, ky është version i thjeshtuar i realitetit sa për ta ilustruar konceptin. Ne nuk masim me një njësi epsilon. Në afërsi mund të masim me mikro-mikrometra, por në largësi masim me kilometra, deri në vit-drite. Pra, boshti numerik nuk është ekuidistant, i shpërndarë njësoj, por, ka shpërndarje të lirë, varësisht nga aftësitë tona vëzhguese të çastit.

 

Gjeometria Euklidiane dhe e Llobaçevskit

Në gjeometri thuhet se Gjeometria e Llobaçevskit është më afër realitetit se sa ajo Euklidiane. Pse? Sepse universi i perceptuar është i kufizuar në një sferë. E marrim një rrafsh në këtë univers, dhe ai na del rreth. Tani, nëpër pikën jashtë drejtëzës kalojnë pafundshumë ‘drejtëza’ (që në fakt janë segmente) që nuk e presin ‘drejtëzën’:

Rrethi drejtezat

Në fakt edhe koncepti i drejtëzës si vijë e drejtë e pakufizuar në të dy anët është vetëm mendor. Ajo është një ‘segment’ me pika diskrete, me gjatësi të fundme. Rrafshi është një grup pikash në një ‘rrafsh të imagjinuar’, i kufizuar, jo patjetër në drejtkëndësh, por aq sa mund të shohim në të gjitha drejtimet. Dhe, hapësira, universi, është një grup i pikave me dendësi të ndryshme varësisht se kur dhe ku shikojmë, zakonisht më të dendura në afërsinë tonë e më të rralla në largësi. (Madje, pikat nuk janë ‘pa dimensione’ por janë trupa ‘të vegjël’ me forma dhe madhësi të ndryshme, varësisht nga saktësia e perceptimit tonë.) Apo, nëse shikojmë me teleskop, më të dendura në atë drejtim, larg, e më të rralla në afërsi. Dhe nëse shikojmë me mikroskop, shumë të dendura në një hapësirë të vogël, e shumë të rralla proporcionalisht në pjesët tjera. Univers që ndryshon në kohë reale. Por gjithmonë i fundëm. Koncepti i pafundësisë, si kah infiniti, si kah madhësitë pambarimisht të vogla janë koncepte mendore, të dobishme për thjeshtësime në llogaritje. E vërtetë relative, edhe kjo, nga një botëkuptim i caktuar.

Nuk e di a është bërë Analizë Matematike Diskrete e Kufizuar, por jam shumë i interesuar ta shoh, apo edhe ta bëj me ndonjë matematikan. Tashmë po e ndjej se një varg mund të mos ketë limit, thjesht sepse nuk e perceptojmë atë pikë ku teorikisht konvergjon. Varësisht nga përimtimi i universit, vargu mund të konvergjojë në një univers të perceptuar, e në tjetrin të divergjojë për shkak të mungesës së limitit. Ose, një varg oshilues, me pika kaq të afërta, që në një perceptim dalin pika e njëjtë, dhe faktikisht ai është varg konstant, pra ashiqare konvergjent. Goxha relative, e varur nga botëkuptimi. Por, një gjë më duket goxha e sigurtë. Se jemi të kufizuar në perceptim edhe në largësi edhe në afërsi. Dhe se vetëm me mendje mund të fabrikojmë, shpikim e trillojmë koncepte të avancuara të Matematikës së Pastër, të cilat mandej çuditërisht aplikohen diku.

Matematika është misterioze, definitivisht. Dhe në një pjesë të madhe—fantastikë shkencore.

 

Ridvan Bunjaku

4 korrik 2017

Lini një Përgjigje

Plotësoni më poshtë të dhënat tuaja ose klikoni mbi një nga ikonat për hyrje:

Stema e WordPress.com-it

Po komentoni duke përdorur llogarinë tuaj WordPress.com. Dilni /  Ndryshoje )

Foto Google

Po komentoni duke përdorur llogarinë tuaj Google. Dilni /  Ndryshoje )

Foto Twitter-i

Po komentoni duke përdorur llogarinë tuaj Twitter. Dilni /  Ndryshoje )

Foto Facebook-u

Po komentoni duke përdorur llogarinë tuaj Facebook. Dilni /  Ndryshoje )

Po lidhet me %s